5.) SISTEMAS DE ECUACIONES Y PROBLEMAS

A las ecuaciones que tienen dos o más variables se les llama sistemas de ecuaciones.

SISTEMA

En este sistema las líneas saldrán paralelas

Y=2X-4 Y=2X+2

X Y X Y

-3 -10 -3 -4

-2 -8 -2 -2

-1 -6 -1 0

0 -4 0 2

1 -2 1 4

2 0 2 6

SISTEMA INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE:

Es cuando un sistema de ecuación no tiene solución por que sus graficas son rectas paralelas.

X+y=3 2x+2y=6

X y x y

-3 -6 -3 -6

-2 -5 -2 -5

-1 -4 -1 -4

0 -3 0 -3

1 -2 1 -2

2 -1 2 -1

SISTEMA INDEPENDIENTE O COMPATIBLE:

Es cuando en un sistema de ecuación en la solución saldrá con líneas cruzadas.

X+y=2 2x-y=-5

X y x y

-3 6 -3 -1

-2 4 -2 1

-1 2 -1 3

0 0 0 5

1 -2 1 7

2 -4 2 9

METODOS DE ELIMINACION:

Por reducción suma y resta:

Primero se elimina alguna variable la x para eso tenemos que igualar las y, si quedan signos diferentes se eliminan las y, :

4x-3y=130 x=770÷14 y=30

2x+2y=170 x=55

4(55)-3(30)=130

(2)4x-3y=130 4(55)-3y=130 220-90=130=130

(3)2x+2y=170 220-3y=130

8x-6y=260 -3y=130-220

6x+6y=510 -3y=-90

14x=770 y=-90÷-3

Método por sustitución:

Para calcular el valor de la otra variable, se sustituye el valor ya conocido en cualquiera de las ecuaciones ya conocidas:

4x-3y=130 4x-3(30)=130

2x+2y=170 4x-90=130

4x=130+90

4x=130+3y x=220÷4

x=130+3y÷4 x=55

2(130+3y÷4)+2y=170 4(55)-3(30)=130

260+6y÷4+2y=170 220-90=130

65+1.5y+2y=170 130=130

65+3.5y=170

3.5y=170-65

y=105÷3.5

y=30

Método de igualación:

Aquí despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados:

4x-3y=130 130+3y÷4 = 170-2y÷2

2x+2y=170 (2)130+3y = (4)170-3y

4x=130+3y 260+6y = 680-8y

x=130+3y÷4 260-680 = -6y-8y

-420 = -14y

2x=170-2y y= -420÷-14

x=170-2y÷2 y=30

4x-3(30)=130 comp.

4x-90=130 4(55)-3(90)=130

4x=130+90 220-90=130

4x=220 130=130

x=220÷4

x=55

METODO DE 3 X 3:

Para resolver el sistema, podemos eliminar alguna de las variables, para transformarlo a un sistema de dos ecuaciones con dos variables

A 5l+2a-3h=8 5(4)+2(3)-3(6)=8

B l -a+2h=13 20+6-18=8

C 2l+3a-2h=5 26-18=8

8=8

A 5l+2a-3h

B l -a+2h (2)

I 7l+h=34

C 2l+3a-2h=5

B l-a+2h= 13 (3)

II 5l+4h=44

I 7l+h=34(-4) ____________una ves teniendo las dos

II 5l+4h=44 ecuaciones se resuelve por

método de reducción.

-28l-4h=-136

5l+4h =44

-23L=-92

l=-92÷-23

l=4 ____________una ves teniendo el primer

5(4)+h=34 resultado agarras cualquier

28+h=34 ecuación ya sea la I o la II.

h=34-28

h=6

5(4)+2a-3(6)=8

20+2a-18=8

2+2a=8

2a=8-2

a=6÷2

a=3

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4.) ECUACIONES LINEALES Y PROBLEMAS

las expresiones algebraicas que constan de un solo numero, o de la potencia de un literal o de un producto de un numero por potencias de literales, reciben el nombre de monomios. Dos monomios son semejantes cuando sus partes literales son iguales y tienen los mismos exponentes.

La suma de dos monomios semejantes se obtiene sumando las partes numéricas y escribiendo la misma parte literal.

La suma de dos momios que no son semejantes se obtiene escribiendo los monomios, uno a continuación del otro, y con el signo que les corresponde.

Las expresiones algebraicas que representan la suma algebraica de dos o mas monomios no semejantes se llaman polinomios.para sumar dos polinomios, se escriben uno a continuación del otro, cada termino con su signo correspondiente. Depuse se suman los monomios o terminos semejantes, si los hay.

(-3x²+2x)+(-8x-6+12x²)=9x²-6x-6

una resta de polinomios se transforma en un suma de polinomios. El polinomio minuendo permanece igual, el polinomio sustraendo se transforma, cambiando todos los signos de los terminos.

(-3x-12)-(2x-6-x²)=-5x-6-x²

el producto de dos monomios se obtiene multiplicando los coeficientes numericos y las partes literales utilizando las leyes de los exponentes.

(2x²-3x+2) (4x)

Ecuación lineal:

Ecuación polinómica de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1.ax+by+cz…=k, en donde a,b,c…k son números reales x,y,z… son las incógnitas.

Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma: ax+by=c

Con a o b no nulos. Se representa mediante rectas cuyos puntos son los resultados de la ecuación.

Las ecuaciones con tres incógnitas son de la forma:

ax+by+cz=d

con a, o b, o c, no nulos. Se representa mediante planos cuyos puntos son los resultados de la ecuación.

Ejemplos de Los términos semejantes son a, 2ª,-3/4 a…

Y ejemplos de términos no semejantes son a², a, 5a³…

Dos o mas términos son semejantes si su parte literal coincide y tiene iguales componentes; solo pueden variar en su coeficiente.

PROBLEMAS:

1-se tienen 88 objetos que se reparten entre dos personas, la segunda persona recibe 26 menos que la primera ¿cuanto recibe cada persona?

1p-26+1p=88 comp. 57+57-26=88 88=88

2p-26=88

2p=88+26

p=114÷2

p=57

2-hay un total de 40 piedras repartidas en dos pilas o montones. La primer pila tiene 7 veces el numero de piedras que hay en la segunda ¿Cuántas piedras hay en cada apila?

7m+m=40 7(5)+5=40

8m=40 35+5=40

m=40÷8 40=40

m=5

3-hay 31 piedras en 3 pilas. La primera tiene 5 menos que la tercera y la segunda tiene 15 mas que la tercera ¿Cuántas piedras hay en cada una?

1p-5+1p+15+1p=31 7-5+7+15+7=31

3p+10=31 31=31

3p=31-10

3p=21

p=21÷3

p=7

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3.) REGIONES EN EL PLANO CARTESIANO Y GAFICAS DE FUNCIONES

Sea la ecuación x+y =3; como es una ecuación lineal, su grafica será una línea recta, por lo que basta por determinar dos de sus puntos, los cuales pueden ser las intersecciones con los ejes.

X+y =3

Si y=0, tendremos X+0=3.X=3---A (3,0)

Si x=0, tendremos 0+y=3.Y=3---B (0,3)

CUAQLQUIER PUNTO SOBRE LA RECTA SATISFACE LA ECUACION X+Y=3.Ejemplo: P(2,1)

X=2 2+1=3

Y=1 3=3

Cualquier punto de la región por debajo de la recta (sin considerar a esta) satisface la desigualdad x+y<3

Ejemplo: A(-1,3)

X=1 -1+3<3

Y=3 2<3

Cualquier punto de la region por arriba de la recta (considerando a esta) cumple con x+y"3

Ejemplo: B(2,2) P(2,1)

X=2 2+2"3 X=2 2+1"3

Y=2 4"3 Y=1 3"3

En general la grafica de una función dada por una formula requiere de:

1-elaboración de una tabla de valores en la que se indique los valores que puede tener la variable independiente (x) -y los valores calculados para la variable dependiente (y).

2-establecer parejas (x,y) con los valores anteriores

3-localización en un plano de coordenadas cartesianas de los puntos correspondientes a las parejas (x,y)

4-trazar una recta o una curva que pase por todos los puntos dibujados.

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2.) PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES LINEALES

F)X3 1 4 7 E)x3 1 4 7 A)x3 1 4 7

Y9 1 16 99 Y9 5 11 17 Y6 2 8 14

C)x3 1 4 7 B)x3 1 4 7 D)x3 1 4 7

Y9 3 12 21 Y6 4 7 10 Y6 0 9 18

A) X—2X

B) X—X+3

C) X—3X

D) X—3X-3

E) X—2X+3

F) X--X²

X3 5 11 18 21 26

Y15 25 55 90 105 103 -5X

X4 12 20 32 48 100

Y3 9 15 24 36 75 X÷4 (3)

X7 12 15 28 30 40

Y4.2 7.2 9 16.8 18.0 24 X÷1.66

La igualdad entre dos fracciones se le llama proporción.

El cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad.

La forma general de las funciones lineales de primer grado o lineales y=mx+b

Y= variable

X= variable independiente

M=inclinación o pendiente

B=lugar por donde pasa la recta en el eje de las y.

Cuando se grafica una función lineal de primer grado se obtiene una línea recta. Si la función que se va a graficar es de segundo grado la grafica es una parábola. la grafica de la función 1/x se llama hipérbola.

Ejemplo de función de primer grado:

Y= 2x x y x y x y x y x y

Y= 2x+1 -3-6 -3-5 -3-4 -3-7 -3-8

Y= 2x+2 -2-4 -2-3 -2-2 -2-5 -2-6

Y= 2x-1 -1-2 -1-1 -1 0 -1-3 -2-6

Y= 2x-2 0 0 0 1 0 2 0-1 0-2

1 2 1 3 1 4 1 1 1 0

2 4 2 5 2 6 2 3 2 2

30T²-60T-720=0 todas estas expresiones algebraicas

X²-4X-45=0 reciben el nombre de ecuaciones de

-X²+14X-48=0 segundo grado con una incógnita.

También pueden ser denominadas

Ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo de función de segundo grado:

Y= x² X Y X Y X Y X Y X Y

Y= x²+1 -3 9 -3-10 -3 11 -3 12 -3 8

Y= x²+2 -2 4 -2 5 -2 6 -2 7 -2 3

Y= x²+3 -1 1 -1 2 -1 3 -1 4 -1 0

Y= x²-1 0 0 0 1 0 2 0 3 0-1

2 4 2 5 2 6 2 7 2 3

Ejemplo de función 1/x:

X y

-3 -1/3

-2 -1/2

-11/2 -2/3

-1 -1

-2/3 -3/2

-1/3 -3

-1/4 -4

1/4 4

1/3 3

2/3 3/2

·         1

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MATEMÁTICAS

1.) RAIZ CUADRADA Y METODOS DE APROXIMACION

Este método consisten multiplicar un número por si

mismo para que te de una cantidad determinada.

Los métodos más conocidos son: metodo babilónico, método de aproximación, algoritmo tradicional, método de newton.

Ejemplos de la raíz cuadrada simple:

_______ ____

"255 "25

METODO BABILONICO

Este método consiste en ir transformando un rectángulo en un cuadrado.en este método se utilizaran el promedio y la división. Donde la nueva base será 7+4÷2=5.5 y la altura será A÷b=4.9

Ejemplo:

4

7

METODO BABILONICO CORTO

En este tipo de método el número cualquiera a veces no es exacto.

Su formula es:

__

"N a²+N

2a

Ejemplo:

_____

"26

ALGORITMO TRADICIONAL

En este tipo de método se usan 5 pasos el primeo es el residuo, el segundo es bajar periodo, el tercero doblar raíz, el cuarto es tapar la última cifra del residuo y lo que queda dividirlo entre el doble de la raíz, el quinto es que el resultado se coloca en tres partes diferentes.

Ejemplo:

_________ ____________

"8341.0000 "371418.9330

METODO DE NEWTON

Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ósea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa.

Ejemplo:

_____

6"37

FUENTES DE ERROR EN UN CALCULO

En la vida diaria, muchas veces calculamos de manera aproximada, es decir, usamos valores aproximados para expresar cantidades reales. Esta manera de resolver situaciones reales provoca que se cometan diferentes clases de errores.

Cuando se resuelve un problema usando datos que tienen un error desde el principio del calculo, se dice que tiene un error de entrada.El tamaño del error se llama error absoluto.Cuando el valor aproximado es mayor que el valor exacto, la magnitud del error se calcula usando laformula valor aproximado-valor exacto. Cuando trabajamos con números truncados o redondeados, simplificamos los cálculos, pero introducimos errores y a esto se le llama error de procedimiento. A veces no es posible escribir todas las cifras de un resultado, o en ocasiones no es posible utilizar todas las cifras de un numero a ello se le denomina errores de salida.

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MATEMÁTICAS

Las matemáticas o la matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números, figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter científico. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.  Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que:" cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".

Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas, tal como lo expresó Eugene Wigner (premio Nobel en 1963):

La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas